Можно ли молиться за некрещеного ребенка

Да, можно и нужно молиться за них — отсутствие крещения этому не препятствует. Молиться можно и дома и в храме. Богу молитесь, Богородицу о них просите. Единственное, что записки за них писать нельзя, поскольку это особый вид поминовения, предназначенный только для членов Церкви.